Содержание
Введение………………………………………………………………………	3
1. Формула Максвелла-Мора для определения перемещения…………….	4
1.1.Перемещения от силового внешнего воздействия…………………….	4
1.2. Перемещения от изменения температуры…………………………….	5
1.3. Перемещение от смещения опорных связей………………………….	6
2. Методы вычисления интегралов в формулах Максвелла-Мора……….	8
2.1. Аналитический метод……………………………………………………	8
2.2. Метод Верещагина………………………………………………………	8
2.3. Метод Симпсона…………………………………………………………	9
Список литературы…………………………………………………………..	11

 

Введение

 

Сооружения должны быть не только прочными, но и достаточно жёсткими. Это означает, что перемещение различных точек сооружения, возникающие при его деформации, должны быть достаточно малыми. Например, наибольший прогиб главной балки междуэтажного перекрытия не должен превышать 1/400 длины её пролёта.

Таким образом, определение перемещений сооружения необходимо для оценки жёсткости сооружения и расчёта его по второму предельному состоянию. Кроме этого, определение перемещений необходимо:

• для сопоставления теоретических и опытных перемещений при контроле сооружений после их постройки и после длительной эксплуатации;
• для расчёта статически неопределимых систем, при динамических расчётах.

Внимание!

Это ОЗНАКОМИТЕЛЬНАЯ ВЕРСИЯ работы №2083, цена оригинала 200 рублей. Оформлена в программе Microsoft Word.

Оплата. Контакты.

1. Формула Максвелла-Мора для определения перемещения

 

Наиболее удобной и универсальной для определения перемещений в упругих системах является формула Максвелла-Мора. Для упругих статически определимых систем она имеет следующий вид:

          (1)

Формула (1) позволяет определять перемещения в плоской стержневой системе от внешнего воздействия – силового (первых три члена), изменения температуры (четвёртый и пятый члены), смещения опорных связей (шестой член). Но, как правило, перемещения от различных воздействий определяются раздельно. Поэтому рассмотрим далее отдельные виды внешних воздействий.

 

1.1.Перемещения от силового внешнего воздействия

 

Перемещения от силового внешнего воздействия определяются по формуле:

                    (2)

где M_p, N_p, Q_p – аналитические выражения изгибающих моментов, продольных и поперечных сил на i-м участке от заданной внешней нагрузки;

M_k, N_k, Q_k – аналитические выражения изгибающих моментов, продольных и поперечных сил от действия обобщённой единичной силы, приложенной в точке К, перемещение которой ищется, по направлению искомого перемещения;

EL, EA, GA – жёсткости поперечного сечения стержня соответственно при изгибе, растяжении-сжатии и сдвиге;

m – коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения;

i – номер участка интегрирования;

m₁, m₂, m₃ – количество участков интегрирования;

Si – длина участка интегрирования вдоль оси стержня.

Для вычисления перемещений по формуле (2) необходимо:

1. Определить аналитические выражения внутренних усилий M_k, N_k, Q_k от действия заданной внешней нагрузки и построить при необходимости их эпюры.
2. Определить аналитические выражения внутренних усилий M_k, N_k, Q_k от единичной обобщённой силы и при необходимости их эпюры.
3. Вычислит интегралы в формуле (2) одним из приведённых ниже способов, предварительно установив количество участков интегрирования.

 

Напомним, что для определения линейного перемещения в качестве единичной обобщённой силы принимается сила Pk = 1, приложенная в точке, перемещение которой ищется по направлению искомого перемещения. Для определения углового перемещения необходимо в соответствующей точке приложить момент Mk = 1.

 

Таким образом, при определении перемещений рассматриваются два напряжённо-деформированного состояния:

– действительное от заданной нагрузки;

– вспомогательное от единичной обобщённой силы.

Поясним это на примере.

1.2. Перемещения от изменения температуры

 

Перемещения в упругих плоских статически определимых стержневых системах определяются по формуле

           (3)

где M_k, N_k – изгибающий момент и продольная сила от действия единичной обобщённой силы, приложенной в точке К;

t₀ – температура на оси стержня;

Dt – изменение температуры по толщине стержня;

h – толщина стержня в направлении изменения температуры;

a – температурный коэффициент линейного расширения.

 

Таким образом, первый член формулы представляет перемещение от действия равномерного по толщине нагрева стержня на величину t₀, а второй – от неравномерного нагрева на разность температур Dt = It₁ – t₂I, где t₁ и t₂ – температура на поверхности стержня (рис.1).

Рисунок 1.

Необходимо иметь ввиду, что при вычислении перемещения Dkt интегрирование распространяется только на те элементы системы, температурный режим которых изменяется.

 

1.3. Перемещение от смещения опорных связей.

 

Перемещение от смещения опорных связей определяется по формуле

                        (4)

где R_ki – реакция i-ой связи от действия обобщённой силы, приложенной в точке К, в которой ищется перемещение;

D­i – заданное перемещение i-ой связи.

Для определения перемещений по формуле (9) нужно рассмотреть два состояния системы:

– действительное, в которой заданы смещения опорных связей (рис.2,а);

– вспомогательное от действия единичной обобщённой силы, приложенной в точке К (рис.2,б).

Рисунок 2. Определение горизонтального перемещения точки К: а – действительное состояние; б – вспомогательное состояние (определение горизонтального перемещения точки К).

 

2. Методы вычисления интегралов в формулах Максвелла-Мора

 

Для вычисления интегралов можно использовать методы: аналитический и численного интегрирования (Верещагина, Симпсона и др.).

 

2.1. Аналитический метод

 

В этом случае находятся аналитические выражения внутренних сил в действительном и вспомогательном состоянии, а затем аналитически, если это возможно, вычисляются интегралы.

К недостаткам этого метода следует отнести следующие:

а) значительная трудоёмкость по сравнению с другими методами;

б) не всегда имеется возможность вычислить интегралы в явном виде.

К его достоинству следует отнести точность вычислений.

 

2.2. Метод Верещагина

где Ω_к– площадь произвольной или ломаной эпюры Mp;

y_k – ордината линейной эпюры Мi под центром тяжести эпюры Mp (рис.3).

Рисунок 3.

Следует иметь в виду, что формула применима для участков с прямолинейной осью стержня, на котором EIk = const. При этом выполняется второе условие применимости формулы, чтобы эпюра М была прямолинейной. Если обе эпюры прямолинейные, то площадь и ординату можно брать с любой эпюры.

При использовании формулы Верещагина приходиться вычислять площади различных геометрических фигур и определять положение их центра тяжести. Для этого сложные геометрические фигуры разбивают на простые. Всё это усложняет применение метода Верещагина в сравнении, например, с методом Симпсона. Поэтому представляется возможным рекомендовать применение формулы Верещагина в том случае, когда площади геометрических фигур, положение их центра тяжести определяются просто, а также просто вычисляются ординаты других фигур, под центром тяжести первых (рис.4).

Рисунок 4.

 

2.3. Метод Симпсона

 

Для более сложных, эпюр для вычисления интегралов в формуле Максвелла-Мора целесообразно применять формулу Симпсона

где f(a), f(c), f(b) – значения подынтегральной функции f(x) на концах (f(a), f(b)) и посередине f(с) интервала интегрирования;

a, b, c – значения x в крайних (a, b) и средней (c) точках интервала интегрирования (рис.5).

Рисунок 5.

 

При вычислении по формуле Симпсона обе эпюры могут быть криволинейными, жёсткости стержня переменными, ось стержня криволинейной. Однако, при криволинейной оси стержня от интеграла по координате вдоль оси стержня

нужно перейти к интегралу по координате вдоль прямолинейной оси, например, x

,

где a – угол наклона касательной к оси стержня в точке с координатой x и оси x (рис.6).

Рисунок 6.

 

Однако, точное значение интеграла будет иметь место лишь тогда, когда стержня прямолинейная, жёсткость на участке постоянная, обе эпюры прямолинейные или одна из них прямолинейная, а вторая – квадратичная парабола.

 

Список литературы

 

1. Киселёв В.А. Строительная механика. Общий курс: учебник для вузов.– М.: Стройиздат, 1986.-520 с.
2. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика: учебник для строительных специальностей вузов.– М.: Высшая школа, 1988.-887 с.
3. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики: Учебное пособие для студентов вузов./ Г.К. Клейн, Н.Н. Леонтьев и др.; Под ред. Г.К. Клейна.– М.: Высшая школа, 1980.-384 с.
4. Сидоров В.Н. Лекции по сопротивлению материалов и теории упругости.– М.: Редакционно-издательский центр Генерального штаба ВС РФ, 2002.-352 с.